Teste Chi Quadrado de Pearson: um guia completo
O teste Chi Quadrado de Pearson é um teste de hipóteses estatístico utilizado para comparar duas variáveis categóricas, também conhecido como apenas Chi Quadrado ou Qui Quadrado ou \(\chi^2\). Muito utilizado para realizar comparações entre tratamentos de tabelas 2×2 (ou maiores).
Por exemplo, o teste Chi Quadrado pode ser usado para comparar se pacientes tem resposta positiva ou negativa entre um tratamento e um controle.
Abaixo vamos apresentar tópicos importantes para compreender, utilizar e interpretar o teste Chi Quadrado.
O que é o teste Chi Quadrado?
O teste Chi Quadrado de Pearson é geralmente usado para comparar duas variáveis categóricas e verificar se são homogêneas entre si. Um exemplo clássico é verificar se um tratamento é melhor que um controle ou não. Assim, suponha que selecionamos 30 pacientes para cada tratamento e verificamos se houve melhora ou não e construímos a tabela abaixo.
| Melhora | Piora ou igual | |
|---|---|---|
| Tratamento | 21 | 9 |
| Controle | 14 | 16 |
Queremos de fato verificar se o tratamento possui mais indivíduos que melhoraram comparado ao controle. Ou seja, queremos que a distribuição de pacientes que melhoraram ou pioraram seja diferente entre tratamento e controle, preferencialmente que o tratamento tenha maior proporção de sucessos, ou seja, mais casos de melhora em relação ao total de pacientes.
Quando usar o teste Chi Quadrado?
Devemos usar o teste Chi Quadrado de Pearson quando queremos comparar duas variáveis categóricas independentes entre si. No exemplo acima é evidente a independência pois temos 30 pacientes distintos para cada tratamento e a melhora ou piora é atribuída a um único indivíduo.
Portanto, temos algumas suposições que devem respeitadas para usar o teste Chi Quadrado:
- Independência entre as observações e variáveis
- Pelo menos 5 observações para cada casela da tabela
O segundo tópico acima é necessário para que matematicamente possamos realizar o teste Chi Quadrado, caso contrário é preciso considerar um teste exato como o Teste Exato de Fisher.
Quando não usar!
- Quando temos dependência entre as observações
- Quando temos caselas na tabela com menos de 5 observações
- Quando as variáveis não são categóricas
O primeiro tópico pode ser representado por um exemplo de quando temos pareamento. Suponha que temos 30 indivíduos e realizamos dois exames para verificar se houve retorno positivo ou não em cada um deles. Assim, queremos estudar se os exames retornam resultados iguais. Ou seja, temos a tabela abaixo.
| Exame 2: Positivo | Exame 2: Negativo | |
|---|---|---|
| Exame 1: Positivo | 18 | 2 |
| Exame 2: Negativo | 1 | 9 |
No caso acima é evidente que não temos independência entre as variáveis pois o mesmo indivíduo é observado duas vezes, uma para coletar o resultado do Exame 1 e outra para coletar o resultado do Exame 2. Portanto, Exame 1 e Exame 2 não são independentes.
Neste caso em específico temos pareamente dos dados e recomenda-se utilizar o teste de McNemar.
Como fazer o teste Chi Quadrado
Para realizar o teste é preciso calcular a tabela esperada do seu estudo baseado em sua tabela observada. A partir disso calcular a estatística do teste e comparar com a distribuição Chi Quadrado.
Vamos voltar ao exemplo dado no tópico O que é agora com as somas marginais mostradas abaixo.
| Melhora | Piora ou igual | Total linha | |
|---|---|---|---|
| Tratamento | 21 | 9 | 30 |
| Controle | 14 | 16 | 30 |
| Total coluna | 35 | 25 | 60 |
A diferença aqui é que agora temos as marginais, sendo 30 para cada tratamento, como especificado no problema, 35 casos de melhora e 25 casos de piora.
A ideia é que para cada casela da tabela 2×2 observada (os valores 21, 9, 14 e 16) calcula-se o valor esperado daquela casela multiplicando as respectivas marginais e dividindo pelo total (60). Ou seja, a tabela esperada é obtida abaixo.
| Melhora | Piora ou igual | |
|---|---|---|
| Tratamento | \(\frac{30 \times 35}{60} = 17.5\) | \(\frac{30 \times 25}{60} = 12.5\) |
| Controle | \(\frac{30 \times 35}{60} = 17.5\) | \(\frac{30 \times 25}{60} = 12.5\) |
A partir daí vamos chamar os elementos da tabela observada de \(Obs\) e os elementos da tabela esperada de \(Esp\). Assim, para cada par entre as tabelas observadas e esperadas vamos calcular:
\[
q = \frac{(Obs – Esp)^2}{Esp}
\]
Construindo assim a tabela abaixo
| Melhora | Piora ou igual | |
|---|---|---|
| Tratamento | \(\frac{(21 – 17.5)^2}{17.5} = 0.7\) | \(\frac{(9 – 12.5)^2}{12.5} = 0.98\) |
| Controle | \(\frac{(14 – 17.5)^2}{17.5} = 0.7\) | \(\frac{(16 – 12.5)^2}{12.5} = 0.98\) |
O próximo passo é simplesmente somar tudo da tabela acima e obter a estatística \(Q\) do teste Chi Quadrado:
\[
Q = 0.7 + 0.7 + 0.98 + 0.98 = 3.36
\]
Valores grandes indicam evidências de que há diferença entre tratamento e controle. Para melhor quantificar essa evidência usa-se o p-valor e verifica-se se é menor que 0.05. Mais detalhes na seção Como interpretar
Não vamos mostrar como calcula o p-valor na mão, pois precisaríamos de uma tabela Chi Quadrado, mas vamos mostrar como calcular todo o processo no software R logo abaixo.
Como fazer no R
Fazer um teste Chi Quadrado no R é bem simples, basta usar a função chisq.test. Abaixo mostramos desde como inserir os dados da nossa tabela usada de exemplo até como realizar o próprio teste Chi Quadrado.
## Criar tabela
tabela <- matrix(c(21,9,14,16), byrow = T, nrow = 2)
print(tabela)
## [,1] [,2] ## [1,] 21 9 ## [2,] 14 16
## Realizar teste Chi Quadrado
chisq.test(tabela)
## ## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction ## ## data: tabela ## X-squared = 2.4686, df = 1, p-value = 0.1161
O p-valor de 0.1161 é observado na saída p-value, mas pode simplesmente ser obtido usando-se o comando abaixo
chisq.test(tabela)$p.value
## [1] 0.1161434
Resumo
- Construir a tabela observada (geralmente já se tem)
- Construir a tabela esperada
- Construir a tabela com a fórmula \(q\) apresentada
- Somar todos os valores da tabela obtida em 3. para obter a estatística \(Q\)
- Comparar \(Q\) na tabela Chi Quadrado e calcular o p-valor
- Há diferença significativa se o p-valor for menor que 0.05 *
* A comparação com 0.05 é porque na maioria dos casos considera-se o nível do teste em 5%. Se em nenhum lugar é dito um nível diferente de 5%, então pode-se comparar com 0.05 sem problemas.
Como interpretar o teste Chi Quadrado
Para interpretar um teste Chi Quadrado de Pearson é preciso observar o p-valor resultante e também a tabela para verificarmos onde está essa diferença.
A interpretação segue de maneira bem simples. Considerando que p-valores abaixo de 0.05 são significativo, se o seu resultado é significativo é preciso observar a tabela e verificar onde está essa diferença. Caso contrário, dizemos que não há evidências o suficiente para mostrar a não homoneidade da tabela.
No exemplo dado ao longo deste post vimos que o p-valor obtido foi de 0.1161.Ou seja, não há evidências suficientes para dizer que o tratamento foi melhor que o controle, apesar dos números serem bem favoráveis para o tratamento.
Referências úteis
- Wikipedia sobre o teste Chi Quadrado de Pearson (em inglês)
- Livro Estatística Básica: Bussab, Wilton O., and Pedro A. Morettin. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1986.